Repérage de la main dans l’espace¶

Afin de repérer la main dans l’espace, il nous faut utiliser des principes de mécanique du solide : le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel fait intervenir six paramètres, qui sont, par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse (ou d'un point quelconque du solide) et trois angles, nommés les angles d'Euler. Dans notre cas, les coordonnées de position seront déduites des accélérations de la centrale inertielle attachée à la main du sujet et les angles seront donnés par les gyromètres de celle-ci.
Les données d’accélérations angulaires données par les gyroscopes le sont par rapport à la main, il faut donc utiliser les angles d’Euler pour changer de référentiel et ce mettre dans celui où on a commencé l’expérience.
Afin d’obtenir les angles d’Euler, nous partons des mesures calculées par le gyromètre que nous nommerons :
p pour l’axe x, dit roulis
q pour l’axe y, dit tangage
r pour l’axe z, dit lacet
Notre but est donc de transformer ces angles calculés avec pour référentiel la centrale en angles terrestres. Pour se faire, il existe un calcul mathématique :

(■(Φ^-■(θ^-Ψ^- )))=(■(1&■(sin⁡Φtanθ&cosΦtanθ)■(0@0)&■(■(cosΦ&-sinΦ)■(sinΦ/cosθ&cosΦ/cosθ))))(■(p@■(q@r)))
Toutefois, vous remarquerez que l’on fait les calculs suivants :
Or, cos(90) = 0, ce qui est interdit en informatique et qui montre en réalité la faiblesse des angles d’Euler, qui ne permettent pas de déterminer de quelle façon à tourner le solide lorsqu’il effectue une rotation à 90° de lacet.
Pour remédier à ces problèmes, il nous faut utiliser les quaternions, dont voici la correspondance avec les angles d’Euler :
(■(q1@■(q2@■(q3@q4))))=(■(cos Φ/2 cos θ/2 cos Ψ/2+sin⁡〖Φ/2〗 sin θ/2 sin Ψ/2@■(sin Φ/2 cos θ/2 cos Ψ/2-cos Φ/2 sin θ/2 sin Ψ/2@■(cos Φ/2 sin θ/2 cos Ψ/2 + sin Φ/2 cos θ/2 sin Ψ/2@cos Φ/2 cos θ/2 sin Ψ/2 - sin Φ/2 sin θ/2 cos Ψ/2))))
Pour repasser des valeurs des quaternions q1, q2, q3 et q4 aux valeurs d’accélérations angulaires recherchées, on se sert des calculs suivant :
Φ =atan2( 2*(q3*q4+q1*q2),1-2*(q22+q32))
θ = asin( 2*(q2*q4 – q1*q3))
Ψ = atan2(2*(q2*q3 + q1*q4), 1 2 *(q32 + q42))

On peut également déduire ces angles des données des accéléromètres, selon la formule suivante :
(■(f_x@■(f_y@f_z )))=(■(u^-■(v^-@w^- )))+(■(0&■(w&-v)■(w@v)&■(■(0&u)■(-u&0))))(■(p■(q@r)))+g(■(sinθ■(-cosθsinΦ-cosθcosΦ)))
Où u, v et w sont les vitesses le long de chaque axe et p, q et r sont les vitesses angulaires sur chaque axe. G est la constante de gravitation.
Les accélérations fx, fy, fz et les vitesses angulaires p, q, r proviennent des mesures. La constante de gravitation est connue. Les dernières inconnues (en plus des angles qui nous intéressent) sont donc les vitesses u,v,w et les accélérations u,v-,w- le long de chaque axe. Ces données ne sont calculables qu’avec des systèmes onéreux.

Toutefois, si le systéme étudié est immobile, alors les vitesses et les accélérations le long de chaque axe sont toutes égales à 0.
u- = v- = w- = 0
u = v = w = 0
Si il bouge à vitesse constante, les accélérations le long de chaque axe sont égales à 0, par conséquent il n’y a pas de changement d’attitude.
u- = v- = w- = 0
p = q = r =0
Dans ces deux cas, il ne reste dans l’équation que des données connues ou que l’on veut calculer :
(■(f_x@■(f_y@f_z )))=g(■(sinθ ■(-cosθ sinΦ-cosθcosΦ)))
D’après cette formule, on peut déduire les données de roulis et tangage :
Φ=〖sin〗^(-1 ) ((-f_y)/gcosθ)
θ=sin^(-1) (f_x/g)
Toutefois, ces valeurs sont donc des approximations et si le système est en rotation avec de fortes vitesses angulaires ou s’il y a un changement abrupt de vitesse, cette approximation sera extrêmement faussée. Cela ne devrait pas être le cas dans notre expérience, puisque le patient va définir un mouvement relativement constant et n’a pas a tourné sa main.

<- Calibrage -> Filtre de Kalman